Упр.797 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
   а) $$126y^3+(x-5y)(x^2+25y^2+5xy)$$ при $$x=-3,\ y=-2$$;
   б) $$m^3+n^3-(m^2-2mn-n^2)(m-n)$$ при $$m=-3,\ n=4$$.
2. Докажите, что если $$b+c=10$$, то $$(10a+ab)(10a+c)=100a(a+1)+bc$$.
   Воспользовавшись этой формулой, вычислите:
   а) $$23\cdot27$$;
   б) $$42\cdot48$$;
   в) $$59\cdot51$$;
   г) $$84\cdot86$$.

а) $$126y^3+(x-5y)(x^2+25y^2+5xy)=126y^3+x^3+25xy^2+5x^2y-5x^2y-125y^3-25xy^2=x^3+y^3.$$

При $$x=-3,\ y=-2$$ получаем:

$$x^3+y^3=(-3)^3+(-2)^3=-27-8=-35.$$

б) $$m^3+n^3-(m^2-2mn-n^2)(m-n)$$

$$=(m^3+n^3)-\bigl(m^3-2m^2n-mn^2-m^2n+2mn^2+n^3\bigr)$$

$$=m^3+n^3-\bigl(m^3-3m^2n+mn^2+n^3\bigr)=3m^2n-mn^2.$$

При $$m=-3,\ n=4$$:

$$3m^2n-mn^2=3\cdot(-3)^2\cdot4-(-3)\cdot4^2=3\cdot9\cdot4+3\cdot16=108+48=156.$$

Ответ: а) $$-35$$; б) $$156$$.

Решение

Если $$b+c=10$$, то

$$(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ac+10ab+bc=100a^2+10a(b+c)+bc.$$

Так как $$b+c=10$$, получаем

$$100a^2+10a\cdot10+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$$

Формула доказана.

Теперь вычислим:

1. $$23\cdot27=(2\cdot10+3)(2\cdot10+7)=100\cdot2\cdot(2+1)+3\cdot7=600+21=621.$$
2. $$42\cdot48=(4\cdot10+2)(4\cdot10+8)=100\cdot4\cdot(4+1)+2\cdot8=2000+16=2016.$$
3. $$59\cdot51=(5\cdot10+9)(5\cdot10+1)=100\cdot5\cdot(5+1)+9\cdot1=3000+9=3009.$$
4. $$84\cdot86=(8\cdot10+4)(8\cdot10+6)=100\cdot8\cdot(8+1)+4\cdot6=7200+24=7224.$$

Ответ: $$23\cdot27=621$$, $$42\cdot48=2016$$, $$59\cdot51=3009$$, $$84\cdot86=7224$$.