Упр.796 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения: а) $$(3^5-3^4)(3^3+3^2)$$ делится на 24; б) $$(2^{10}+2^8)(2^5-2^3)$$ делится на 60; в) $$(16^3-8^3)(4^3+2^3)$$ делится на 63; г) $$(125^2+25^2)(5^2-1)$$ делится на 39.
- При каком значении $$a$$ произведение $$(x^3+4x^2-17x+41)(x+a)$$ тождественно равно многочлену, не содержащему $$x^3$$?
а) $$\frac{(3^5-3^4)(3^3+3^2)}{24}=\frac{3^4(3-1)\cdot 3^2(3+1)}{24}=\frac{3^6\cdot 2\cdot 4}{24}=3^6,$$ значит, выражение делится на $$24$$.
б) $$\frac{(2^{10}+2^8)(2^5-2^3)}{60}=\frac{2^8(2^2+1)\cdot 2^3(2^2-1)}{60}=\frac{2^{11}\cdot 5\cdot 3}{60}=\frac{2^{11}\cdot 15}{60}=2^9,$$ значит, выражение делится на $$60$$.
в) $$\frac{(16^3-8^3)(4^3+2^3)}{63}=\frac{(2^{12}-2^9)(2^6+2^3)}{63}=\frac{2^9(2^3-1)\cdot 2^3(2^3+1)}{63}=\frac{2^{12}\cdot 7\cdot 9}{63}=2^{12},$$ значит, выражение делится на $$63$$.
г) $$\frac{(125^2+25^2)(5^2-1)}{39}=\frac{((5^3)^2+(5^2)^2)(5^2-1)}{39}=\frac{(5^6+5^4)(5^2-1)}{39}=\frac{5^4(5^2+1)(5^2-1)}{39}$$
$$=\frac{5^4(25-1)(25+1)}{39}=\frac{5^4\cdot 24\cdot 26}{39}=\frac{5^4\cdot 624}{39}=5^4\cdot 16,$$ значит, выражение делится на $$39$$.
Ответ
а) делится на $$24$$; б) делится на $$60$$; в) делится на $$63$$; г) делится на $$39$$.
При $$a=-4$$ произведение $$\left(x^3+4x^2-17x+41\right)(x+a)$$ не содержит члена с $$x^3$$.
