Упр.793 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену: а) $$(x+y)(x^2-xy+y^2)$$; б) $$(x-y)(x^2+xy+y^2)$$; в) $$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$$; г) $$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$$.
2. Задание учебника 2019 года. Разложите на множители многочлен: а) $$x^2-10x+24$$; б) $$x^2-13x+40$$; в) $$x^2+8x+7$$; г) $$x^2+15x+54$$; д) $$x^2+x-12$$; е) $$x^2-2x-35$$.

а) $$\begin{aligned}(x+y)(x^2-xy+y^2)&=x(x^2-xy+y^2)+y(x^2-xy+y^2)\\&=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3\\&=x^3+y^3.\end{aligned}$$

б) $$\begin{aligned}(x-y)(x^2+xy+y^2)&=x(x^2+xy+y^2)-y(x^2+xy+y^2)\\&=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\\&=x^3-y^3.\end{aligned}$$

в) $$\begin{aligned}(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)&=a(a^3-a^2b+ab^2-b^3)+b(a^3-a^2b+ab^2-b^3)\\&=a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+a^3b-a^2b^2+ab^3-b^4\\&=a^4-b^4.\end{aligned}$$

г) $$\begin{aligned}(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)&=a(a^3+a^2b+ab^2+b^3)-b(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\&=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4\\&=a^4-b^4.\end{aligned}$$

Ответ: а) $$x^3+y^3$$; б) $$x^3-y^3$$; в) $$a^4-b^4$$; г) $$a^4-b^4$$.