Упр.792 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
а) Пусть три последовательных степени числа 2 будут: 2^n,2^(n+1),2^(n+2).
Докажем, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14.
2^n+2^(n+1)+2^(n+2)=2^n (1+2+2^2 )=2^n•7=2^(n-1)•2•7==2^(n-1)•14
Так как один из множителей число 14, то выражение делится на 14, при n?1.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть две последовательные степени числа 5 будут: 5^n,5^(n+1).
Докажем, что сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
5^n+5^(n+1)=5^n (1+5)=5^n•6=5^(n-1)•5•6=5^(n-1)•30
Так как один из множителей число 30, то выражение делится на 30, при n?1.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

а) Пусть три последовательные степени числа $2$ имеют вид $2^n$, $2^{n+1}$, $2^{n+2}$.

Тогда

$$ 2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+2^2)=2^n\cdot 7=2^{n-1}\cdot 14. $$

Значит, сумма делится на $14$.

б) Пусть две последовательные степени числа $5$ имеют вид $5^n$, $5^{n+1}$.

Тогда

$$ 5^n+5^{n+1}=5^n(1+5)=5^n\cdot 6=5^{n-1}\cdot 5\cdot 6=5^{n-1}\cdot 30. $$

Значит, сумма делится на $30$.