Упр.789 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения $$a^2-a$$ кратно $$2$$ при любом целом $$a$$.
- Периметр прямоугольника равен $$30\ \text{см}$$. Если его длину уменьшить на $$3\ \text{см}$$, а ширину увеличить на $$5\ \text{см}$$, то площадь прямоугольника уменьшится на $$8\ \text{см}^2$$. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
$$a^2-a=a(a-1).$$
Произведение $$a(a-1)$$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных чисел одно обязательно чётное, значит, их произведение делится на $$2$$.
Следовательно, $$a^2-a$$ кратно $$2$$ при любом целом $$a$$.
Ответ
$$a^2-a$$ кратно $$2$$ при любом целом $$a$$.
Так как периметр прямоугольника равен $$30$$ см, то его полупериметр равен $$15$$ см. Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда ширина равна $$15-x$$ см.
После изменения сторон длина станет $$x-3$$ см, а ширина — $$15-x+5=20-x$$ см.
Составим уравнение по условию:
$$x(15-x)=(x-3)(20-x)+8.$$
Раскроем скобки:
$$x(15-x)=x^2-15x, \\\\ (x-3)(20-x)=20x-x^2-60+3x.$$
Тогда
$$15x-x^2=20x-x^2-60+3x+8,$$
$$15x=23x-52,$$
$$8x=52,$$
$$x=6{,}5.$$
Значит, ширина прямоугольника равна $$15-6{,}5=8{,}5$$ см.
Тогда площадь первоначального прямоугольника:
$$S=6{,}5\cdot 8{,}5=55{,}25\ \text{см}^2.$$
Ответ
$$55{,}25\ \text{см}^2.$$
