Упр.784 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

а) $$7^{16}+7^{14}=7^{14}(7^2+1)=7^{14}(49+1)=7^{14}\cdot 50.$$

Так как один из множителей равен $$50,$$ то выражение делится на $$50.$$

б) $$5^{31}-5^{29}=5^{29}(5^2-1)=5^{29}(25-1)=5^{29}\cdot 24.$$

Преобразуем дальше:

$$5^{29}\cdot 24=5^{27}\cdot 5^2\cdot 24=5^{27}\cdot 25\cdot 24=5^{27}\cdot 600.$$

Так как $$600$$ делится на $$100,$$ то и всё выражение делится на $$100.$$

в) $$25^9+5^{17}=(5^2)^9+5^{17}=5^{18}+5^{17}=5^{17}(5+1)=5^{17}\cdot 6.$$

Тогда

$$5^{17}\cdot 6=5^{16}\cdot 5\cdot 6=5^{16}\cdot 30,$$

значит, выражение делится на $$30.$$

г) $$27^{10}-9^{14}=(3^3)^{10}-(3^2)^{14}=3^{30}-3^{28}=3^{28}(3^2-1)=3^{28}(9-1)=3^{28}\cdot 8.$$

Далее

$$3^{28}\cdot 8=3^{27}\cdot 24,$$

следовательно, выражение делится на $$24.$$

д) $$12^{13}-12^{12}+12^{11}=12^{11}(12^2-12+1)=12^{11}(144-12+1)=12^{11}\cdot 133.$$

Так как $$133=7\cdot 19,$$ то

$$12^{11}\cdot 133=12^{11}\cdot 7\cdot 19,$$

значит, выражение делится и на $$7,$$ и на $$19.$$

е) $$11^9-11^8+11^7=11^7(11^2-11+1)=11^7(121-11+1)=11^7\cdot 111.$$

Так как $$111=3\cdot 37,$$ то

$$11^7\cdot 111=11^7\cdot 3\cdot 37,$$

следовательно, выражение делится и на $$3,$$ и на $$37.$$

Пусть четыре последовательных натуральных числа: $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3.$$ Тогда по условию

$$(n+2)(n+3)-n(n+1)=38.$$

Раскроем скобки:

$$n^2+5n+6-n^2-n=38,$$

$$4n+6=38,$$

$$4n=32,$$

$$n=8.$$

Значит, искомые числа:

$$8,\ 9,\ 10,\ 11.$$

Ответ: а) делится на $$50$$; б) на $$100$$; в) на $$30$$; г) на $$24$$; д) на $$7$$ и $$19$$; е) на $$3$$ и $$37$$; искомые числа $$8,\ 9,\ 10,\ 11.$$