Упр.783 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители:
   а) $$a^{20}-a^{10}+a^5$$;
   б) $$b^{60}+b^{40}-b^{20}$$;
   в) $$a^{10}-a^8-a^6$$;
   г) $$b^{40}+b^{20}+b^{10}$$.
2. Докажите, что:
   а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
   б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) $$a^{20}-a^{10}+a^5=a^5\left(a^{15}-a^5+1\right).$$

б) $$b^{60}+b^{40}-b^{20}=b^{20}\left(b^{40}+b^{20}-1\right).$$

в) $$a^{10}-a^8-a^6=a^6\left(a^4-a^2-1\right).$$

г) $$b^{40}+b^{20}+b^{10}=b^{10}\left(b^{30}+b^{10}+1\right).$$

а) Пусть пять последовательных натуральных чисел: $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4.$$

Их сумма равна

$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2).$$

Значит, сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна $$5.$$

б) Пусть четыре последовательных нечётных числа: $$2n+1,\ 2n+3,\ 2n+5,\ 2n+7.$$

Их сумма равна

$$(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16=8(n+2).$$

Значит, сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна $$8.$$