Упр.769 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения: а) $$3(x^2-x+1)-0{,}5x(4x-6)$$ является положительным числом; б) $$y(2+y-y^3)-\frac{2}{3}(6+3y+1{,}5y^2)$$ является отрицательным числом.
2. Разложите на множители: а) $$(a-3b)(a+2b)+5a(a+2b)$$; б) $$(x+8y)(2x-5b)-8y(2x-5b)$$; в) $$7a^2(a-x)+(6a^2-ax)(x-a)$$; г) $$11b^2(3b-y)-(6y-3b^2)(y-3b)$$.

а) $$3(x^2-x+1)-0{,}5x(4x-6)=3x^2-3x+3-2x^2+3x=x^2+3.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+3>0$$ при любых значениях $$x.$$ Следовательно, выражение положительно.

б) $$y(2+y-y^3)-\frac23(6+3y+1{,}5y^2)=2y+y^2-y^4-4-2y-y^2=-y^4-4.$$

Так как $$y^4\ge 0,$$ то $$-y^4\le 0,$$ а значит $$-y^4-4<0$$ при любых значениях $$y.$$ Следовательно, выражение отрицательно.

Ответ: а) $$x^2+3>0$$; б) $$-y^4-4<0$$.