Упр.749 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Для того, чтобы произведение n(2n+1)(7n+1) делилось на 6, необходимо, чтобы оно было кратно 2 и 3.
Докажем сначала делимость данного произведения на 2.
При чётном n произведение делится на 2, так как один из множителей число n.
При нечётном n сумма 7n+1 является чётным числом, т.е. произведение кратно 2.
Значит, произведение всегда кратно 2.
Осталось доказать делимость данного произведения на 3.
При делении на 3 остаток от деления может быть 0, 1 или 2.
1) Если остаток от деления 0, значит произведение кратно 3.
2) Если остаток от деления 1, значит число n можно представить в виде n=3q+1.
Тогда, 2n+1=2(3q+1)+1=6q+2+1=6q+3=
=3(2q+1).
Значит, сумма 2n+1 кратна 3.
3) Если остаток от деления 2, значит число n можно представить в виде n=3q+2.
Тогда, 7n+1=7(3q+2)+1=21q+14+1=21q+15=
=3(7q+5).
Значит, сумма 7n+1 кратна 3.
Значит, произведение n(2n+1)(7n+1) при любом натуральном значении n кратно 2 и 3, т.е. делится на 6.
Что и требовалось доказать.

Чтобы произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делилось на $$6$$, достаточно доказать, что оно делится на $$2$$ и на $$3$$.

1. Делимость на 2.

Если $$n$$ чётное, то произведение делится на $$2$$, так как множитель $$n$$ чётный.

Если $$n$$ нечётное, то $$7n+1$$ — чётное число, значит, произведение тоже делится на $$2$$.

Следовательно, $$n(2n+1)(7n+1)$$ всегда кратно $$2$$.

2. Делимость на 3.

Рассмотрим возможные остатки при делении $$n$$ на $$3$$.

Если $$n=3q$$, то произведение сразу делится на $$3$$.

Если $$n=3q+1$$, то

$$ 2n+1=2(3q+1)+1=6q+3=3(2q+1), $$

значит, $$2n+1$$ делится на $$3$$.

Если $$n=3q+2$$, то

$$ 7n+1=7(3q+2)+1=21q+15=3(7q+5), $$

значит, $$7n+1$$ делится на $$3$$.

Во всех случаях произведение делится на $$3$$.

Так как произведение делится и на $$2$$, и на $$3$$, то оно делится на $$6$$.

Ответ

$$n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.