Упр.749 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
2. К трёхзначному числу слева приписали цифру $$5$$ и из полученного четырёхзначного числа вычли $$3032$$. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в $$9$$ раз. Найдите это трёхзначное число.

Число, делящееся на $$6$$, должно делиться на $$2$$ и на $$3$$.

Докажем делимость произведения $$n(2n+1)(7n+1)$$ на $$2$$.

Если $$n$$ чётное, то произведение делится на $$2$$, так как один из множителей — число $$n$$.

Если $$n$$ нечётное, то $$7n$$ тоже нечётное, значит $$7n+1$$ — чётное число. Следовательно, произведение снова делится на $$2$$.

Значит, $$n(2n+1)(7n+1)$$ всегда кратно $$2$$.

Теперь докажем делимость на $$3$$.

При делении на $$3$$ возможны остатки $$0$$, $$1$$ и $$2$$.

1. Если $$n$$ делится на $$3$$, то всё произведение делится на $$3$$.

2. Если $$n=3q+1$$, то

   $$2n+1=2(3q+1)+1=6q+3=3(2q+1),$$

   значит, множитель $$2n+1$$ делится на $$3$$.

3. Если $$n=3q+2$$, то

   $$7n+1=7(3q+2)+1=21q+15=3(7q+5),$$

   значит, множитель $$7n+1$$ делится на $$3$$.

Во всех случаях произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$3$$.

Итак, произведение делится и на $$2$$, и на $$3$$, значит, оно делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.