Упр.745 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение ab(a + b) (а — b) делится на 3?
Рассмотрим остатки чисел $$a$$ и $$b$$ при делении на $$3$$.
Если хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$b$$ делится на $$3$$, то произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$.
Остаётся рассмотреть случаи, когда $$a$$ и $$b$$ не делятся на $$3$$.
Если $$a \equiv 1 \pmod{3}$$ и $$b \equiv 1 \pmod{3}$$, то
$$ a=3m+1,\quad b=3n+1, $$
$$ a-b=(3m+1)-(3n+1)=3(m-n), $$
значит, $$a-b$$ делится на $$3$$.
Если $$a \equiv 2 \pmod{3}$$ и $$b \equiv 2 \pmod{3}$$, то
$$ a=3m+2,\quad b=3n+2, $$
$$ a-b=(3m+2)-(3n+2)=3(m-n), $$
значит, $$a-b$$ делится на $$3$$.
Если остатки разные, то один из них равен $$1$$, а другой $$2$$. Тогда
$$ a=3m+1,\quad b=3n+2, $$
$$ a+b=(3m+1)+(3n+2)=3(m+n+1), $$
значит, $$a+b$$ делится на $$3$$.
Во всех возможных случаях хотя бы один из множителей $$a$$, $$b$$, $$a+b$$, $$a-b$$ делится на $$3$$. Следовательно, произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$ при любых целых значениях $$a$$ и $$b$$.
Ответ
Да, верно.
