Упр.745 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Верно ли, что при любых целых значениях $$a$$ и $$b$$ произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$?
2. Задание учебника 2019 года. Решите уравнение:
   а) $$(4-2x)+(5x-3)=(x-2)-(x+3);$$
   б) $$5-3y-(4-2y)=y-8-(y-1);$$
   в) $$7-\frac{1a}{2}+\left(\frac{1a}{2}-\frac{5\cdot1}{2}\right)=2a+\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1a}{2}\right);$$
   г) $$-3{,}6-(1{,}5x+1)=-4x-0{,}8-(0{,}4x-2).$$

Пусть $$a=3m+r,\quad b=3n+s,$$ где $$r,s\in\{0,1,2\}.$$ Тогда возможны три случая.

1. Если хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$b$$ делится на $$3,$$ то произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$, так как содержит множитель, кратный $$3$$.
2. Если остатки от деления $$a$$ и $$b$$ на $$3$$ одинаковы, то
   $$a-b=3m+r-(3n+r)=3(m-n),$$
   значит, $$a-b$$ делится на $$3$$.
3. Если остатки от деления $$a$$ и $$b$$ на $$3$$ разные, то они равны $$1$$ и $$2$$. Тогда
   $$a+b=(3m+1)+(3n+2)=3(m+n+1),$$
   значит, $$a+b$$ делится на $$3$$.

Во всех случаях одно из чисел $$a,$$ $$b,$$ $$a+b,$$ $$a-b$$ делится на $$3,$$ следовательно, произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$ при любых целых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

Да, верно.