Упр.744 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Используем утверждение о том, что для любого целого числа a и натурального b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что a=bq+r, где 0 < r < b. Так как при делении на 3 числа a и b дают остатки отличные от нуля, значит остаток одного числа 1, а другого 2. Пусть a=3m+1,b=3n+2. Тогда, ab+1=(3m+1)(3n+2)+1= =9mn+6m+3n+2+1=9mn+6m+3n+3==3(3mn+2m+n+1) Так как один из множителей число 3, значит число ab+1 кратно 3. Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Так как при делении на 3 числа $$a$$ и $$b$$ дают различные ненулевые остатки, то один из них даёт остаток $$1$$, а другой — остаток $$2$$.

Пусть

$$a=3m+1,\quad b=3n+2.$$

Тогда

$$ ab+1=(3m+1)(3n+2)+1 $$

$$ =9mn+6m+3n+2+1 $$

$$ =9mn+6m+3n+3 $$

$$ =3(3mn+2m+n+1). $$

Следовательно, число $$ab+1$$ делится на 3.