Упр.744 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если целые числа $$a$$ и $$b$$ при делении на 3 дают различные остатки, отличные от нуля, то число $$ab+1$$ делится на 3.
2. Докажите, что:
   а) сумма чисел $$ab$$ и $$ba$$ кратна сумме $$a$$ и $$b$$;
   б) разность чисел $$ab$$ и $$ba$$ кратна 9.

Пусть при делении на $$3$$ число $$a$$ даёт остаток $$1$$, а число $$b$$ — остаток $$2$$. Тогда

$$a=3m+1,\quad b=3n+2,$$

где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.

Тогда

$$ab+1=(3m+1)(3n+2)+1$$

$$=9mn+6m+3n+2+1$$

$$=9mn+6m+3n+3$$

$$=3(3mn+2m+n+1).$$

Следовательно, число $$ab+1$$ делится на $$3$$.

Ответ: $$ab+1$$ кратно $$3$$.