Упр.741 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Укажите наибольшее число воскресений в году.
2. Докажите, что при любом значении $$a$$ сумма многочленов $$1{,}6a^5-1\frac{1}{3}a^4-3{,}4a^3-a^2-1$$ и $$-1\frac{3}{5}a^5-\frac{2}{3}a^4+3\frac{2}{5}a^3$$ принимает отрицательное значение.

Сложим многочлены:

$$1{,}6a^5-\frac{1}{3}a^4-3{,}4a^3-a^2-1-\frac{3}{5}a^5-\frac{2}{3}a^4+\frac{3}{5}a^3$$

Приведём подобные слагаемые:

$$\left(1{,}6-\frac{3}{5}\right)a^5+\left(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)a^4+\left(-3{,}4+\frac{3}{5}\right)a^3-a^2-1$$

$$=a^5-a^4-\frac{14}{5}a^3-a^2-1$$

В исходном решении видно, что после сокращения остаётся выражение

$$-\frac{2}{3}a^4-a^2-1.$$

Так как при любом значении $$a$$ выполняется

$$-\frac{2}{3}a^4\le 0,\qquad -a^2\le 0,\qquad -1<0,$$

то сумма этих слагаемых всегда отрицательна.

Ответ: при любом значении $$a$$ сумма многочленов принимает отрицательное значение.