Упр.733 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Разложите на множители многочлен:
а) $$x^2y+x+xy^2+y+2xy+2$$;
б) $$x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2$$. - Докажите, что произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
а) $$x^2y+x+xy^2+y+2xy+2=x(xy+1)+y(xy+1)+2(xy+1)$$
$$=(xy+1)(x+y+2)$$
б) $$x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2=x(x-y^2)-y(x-y^2)+(x-y^2)$$
$$=(x-y^2)(x-y+1)$$
Для того чтобы произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делилось на $$6$$, достаточно доказать его делимость на $$2$$ и на $$3$$.
Докажем делимость на $$2$$.
Если $$n$$ чётное, то произведение делится на $$2$$, так как один из множителей — число $$n$$.
Если $$n$$ нечётное, то $$7n+1$$ — чётное число, значит, произведение тоже делится на $$2$$.
Следовательно, $$n(2n+1)(7n+1)$$ всегда кратно $$2$$.
Докажем делимость на $$3$$.
При делении $$n$$ на $$3$$ возможны остатки $$0$$, $$1$$ или $$2$$.
1) Если $$n=3q$$, то произведение сразу делится на $$3$$.
2) Если $$n=3q+1$$, то
$$2n+1=2(3q+1)+1=6q+3=3(2q+1),$$
значит, $$2n+1$$ делится на $$3$$.
3) Если $$n=3q+2$$, то
$$7n+1=7(3q+2)+1=21q+15=3(7q+5),$$
значит, $$7n+1$$ делится на $$3$$.
Итак, при любом натуральном $$n$$ произведение $$n(2n+1)(7n+1)$$ делится и на $$2$$, и на $$3$$, следовательно, делится на $$6$$.
Ответ: $$a) \ (xy+1)(x+y+2); \quad b) \ (x-y^2)(x-y+1); \quad n(2n+1)(7n+1)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
