Упр.729 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения: а) $$p^2q^2+pq-q^3-p^3$$ при $$p=0{,}5$$ и $$q=-0{,}5$$; б) $$3x^3-2y^3-6x^2y^2+xy$$ при $$x=\frac{2}{3}$$ и $$y=\frac{1}{2}$$.
- Верно ли, что при любых целых значениях $$a$$ и $$b$$ произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на 3?
а) $$p^2q^2+pq-q^3-p^3=q^2(p^2-q)-p(p^2-q)=(p^2-q)(q^2-p).$$
Подставим $$p=0{,}5,\ q=-0{,}5$$:
$$(p^2-q)(q^2-p)=\left(0{,}5^2-(-0{,}5)\right)\left((-0{,}5)^2-0{,}5\right)$$
$$=(0{,}25+0{,}5)(0{,}25-0{,}5)=0{,}75\cdot(-0{,}25)=-0{,}1875.$$
б) $$3x^3-2y^3-6x^2y^2+xy=y(x-2y^2)-3x^2(2y^2-x)=(x-2y^2)(y+3x^2).$$
Подставим $$x=\frac23,\ y=\frac12$$:
$$(x-2y^2)(y+3x^2)=\left(\frac23-2\cdot\left(\frac12\right)^2\right)\left(\frac12+3\cdot\left(\frac23\right)^2\right)$$
$$=\left(\frac23-\frac12\right)\left(\frac12+\frac43\right) =\frac16\cdot\frac{11}{6} =\frac{11}{36}.$$
Верно, что при любых целых значениях $$a$$ и $$b$$ произведение $$ab(a+b)(a-b)$$ делится на $$3$$.
Действительно, рассмотрим остатки чисел $$a$$ и $$b$$ при делении на $$3$$.
- Если хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$b$$ делится на $$3$$, то и всё произведение делится на $$3$$.
- Если оба числа не делятся на $$3$$ и имеют одинаковые остатки, то $$a-b$$ делится на $$3$$.
- Если остатки разные, то $$a+b$$ делится на $$3$$.
Значит, в любом случае один из множителей $$ab(a+b)(a-b)$$ кратен $$3$$, поэтому всё произведение делится на $$3$$.
Ответ: а) $$-0{,}1875$$; б) $$\frac{11}{36}$$; да, делится на $$3$$.
