Упр.728 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде произведения многочлен:
   а) $$mn-mk+xk-xn$$;
   б) $$x^2+7x-ax-7a$$;
   в) $$3m-mk+3k-k^2$$;
   г) $$xk-xy-x^2+yk$$.
2. Докажите, что если целые числа $$a$$ и $$b$$ при делении на $$3$$ дают различные остатки (отличные от нуля), то число $$ab+1$$ делится на $$3$$.

а) $$mn-mk+xk-xn=m(n-k)+x(k-n)=m(n-k)-x(n-k)=(n-k)(m-x).$$

б) $$x^2+7x-ax-7a=x(x-a)-7(a-x)=x(x-a)+7(x-a)=(x-a)(x+7).$$

в) $$3m-mk+3k-k^2=3(m+k)-k(m+k)=(m+k)(3-k).$$

г) $$xk-xy-x^2+yk=x(k-y)-x(x-y)=x(k-x)+y(k-x)=(k-x)(x+y).$$

Пусть при делении на $$3$$ числа $$a$$ и $$b$$ дают различные ненулевые остатки. Тогда один из них даёт остаток $$1$$, а другой — $$2$$. Без ограничения общности положим

$$a=3m+1,\qquad b=3n+2.$$

Тогда

$$ab+1=(3m+1)(3n+2)+1=9mn+6m+3n+2+1=9mn+6m+3n+3=3(3mn+2m+n+1).$$

Следовательно, $$ab+1$$ делится на $$3$$.

Ответ: а) $$(n-k)(m-x)$$; б) $$(x-a)(x+7)$$; в) $$(m+k)(3-k)$$; г) $$(k-x)(x+y)$$; $$ab+1$$ делится на $$3$$.