Упр.718 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Периметр прямоугольника равен $$70\text{ см}$$. Если его длину уменьшить на $$5\text{ см}$$, а ширину увеличить на $$5\text{ см}$$, то площадь увеличится на $$50\text{ см}^2$$. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
2. Разложите на множители трёхчлен:
   а) $$x^2+6x+5$$;
   б) $$x^2-x-6$$;
   в) $$a^2-5a+4$$;
   г) $$a^2-6a-16$$.

Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, а ширина — $$b$$ см.

Тогда по условию:

$$2(a+b)=70,$$

значит,

$$a+b=35.$$

После изменения размеров площадь станет равна $$$(a-5)(b+5)$$$, а первоначальная площадь — $$ab$$. По условию:

$$(a-5)(b+5)=ab+50$$

Раскроем скобки:

$$ab+5a-5b-25=ab+50$$

$$5a-5b=75$$

$$a-b=15$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=35,\\ a-b=15. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2a=50$$

$$a=25$$

Тогда

$$b=35-25=10.$$

Ответ: $$25$$ см и $$10$$ см.