Упр.715 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) — (n — 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значении nn, большем 2, значение выражения (n — 1)(n + 1) — (n — 7)(n — 5) кратно 12.
Преобразуем данные выражения и вынесем общий множитель за скобки.
а) n(n+5)-(n-3)(n+2)=n^2+5n-(n^2+2n-3n-6)==n^2+5n-(n^2-n-6)=n^2+5n-n^2+n+6=6n+6=
=6(n+1)
Так как один из множителей число 6, значит выражение кратно 6.
Что и требовалось доказать.
б) (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5)=
=n^2-1-(n^2-5n-7n+35)=n^2-1-(n^2-12n+35)= =n^2-1-n^2+12n-35=12n-36=12(n-3)
Так как один из множителей число 12, значит выражение кратно 12.
Таким образом, при любом натуральном значении n, большем 2, значение данного выражения кратно 12.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$ n(n+5)-(n-3)(n+2)=n^2+5n-(n^2+2n-3n-6) $$

$$ =n^2+5n-(n^2-n-6)=n^2+5n-n^2+n+6=6n+6=6(n+1) $$

Так как выражение представлено в виде произведения, один из множителей которого равен $$6$$, то оно кратно $$6$$.

б) Преобразуем выражение:

$$ (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5)=n^2-1-(n^2-5n-7n+35) $$

$$ =n^2-1-(n^2-12n+35)=n^2-1-n^2+12n-35=12n-36=12(n-3) $$

Так как выражение равно произведению, один из множителей которого равен $$12$$, то оно кратно $$12$$.