Упр.715 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:

   а) при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$n(n+5)-(n-3)(n+2)$$ кратно 6;

   б) при любом натуральном значении $$n$$, большем 2, значение выражения $$(n-1)(n+1)-(n-7)(n-5)$$ кратно 12.

2. Докажите тождество:

   а) $$ax-y+x-ay=(x-y)(a+1)$$;

   б) $$ax-2by+ay-2bx=(a-2b)(x+y)$$.

Преобразуем данные выражения и вынесем общий множитель за скобки.

Ход решения

а)

$$n(n+5)-(n-3)(n+2)=n^2+5n-(n^2+2n-3n-6)$$

$$=n^2+5n-(n^2-n-6)=n^2+5n-n^2+n+6=6n+6=6(n+1)$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$6$$, оно кратно $$6$$.

б)

$$(n-1)(n+1)-(n-7)(n-5)=n^2-1-(n^2-5n-7n+35)$$

$$=n^2-1-(n^2-12n+35)=n^2-1-n^2+12n-35=12n-36=12(n-3)$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$12$$, оно кратно $$12$$.

Ответ

а) $$n(n+5)-(n-3)(n+2)=6(n+1)$$, значит, выражение кратно $$6$$.

б) $$(n-1)(n+1)-(n-7)(n-5)=12(n-3)$$, значит, выражение кратно $$12$$.