Упр.681 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а) 7^8 — 7^7 + 7^6 делится на 43;
б) 2^13 — 2^10 — 2^9 делится на 13;
в) 27^4 — 9^5 + 3^9 делится на 25;
г) 16^4 — 2^13 — 4^5 делится на 110.
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

Подробный ответ

а) $$7^8-7^7+7^6=7^6(7^2-7+1)=7^6(49-7+1)=7^6\cdot 43.$$

Так как один из множителей делится на $$43,$$ то всё выражение делится на $$43.$$

б) $$2^{13}-2^{10}-2^9=2^9(2^4-2-1)=2^9(16-2-1)=2^9\cdot 13.$$

Так как один из множителей делится на $$13,$$ то всё выражение делится на $$13.$$

в) $$27^4-9^5+3^9=(3^3)^4-(3^2)^5+3^9=3^{12}-3^{10}+3^9$$

$$=3^9(3^3-3+1)=3^9(27-3+1)=3^9\cdot 25.$$

Так как один из множителей делится на $$25,$$ то всё выражение делится на $$25.$$

г) $$16^4-2^{13}-4^5=(2^4)^4-2^{13}-(2^2)^5=2^{16}-2^{13}-2^{10}$$

$$=2^{10}(2^6-2^3-1)=2^{10}(64-8-1)=2^{10}\cdot 55=2^9\cdot 110.$$

Так как один из множителей делится на $$110,$$ то всё выражение делится на $$110.$$

Использовано свойство: если один из множителей произведения делится на данное число, то и всё произведение делится на это число.