Упр.681 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Докажите, что:
а) $$7^8-7^7+7^6$$ делится на $$43$$;
б) $$2^{13}-2^{10}-2^9$$ делится на $$13$$;
в) $$27^4-9^5+3^9$$ делится на $$25$$;
г) $$16^4-2^{13}-4^5$$ делится на $$110$$.
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.
Выполните умножение:
а) $$(2x^2-y)(x^2+y)$$;
б) $$(7x^2+a^2)(x^2-3a^2)$$;
в) $$(11y^2-9)(3y-2)$$;
г) $$(5a-3a^3)(4a-1)$$.
а) $$7^8-7^7+7^6=7^6(7^2-7+1)=7^6(49-7+1)=7^6\cdot 43.$$
Так как один из множителей делится на $$43,$$ то всё выражение делится на $$43.$$
б) $$2^{13}-2^{10}-2^9=2^9(2^4-2-1)=2^9(16-2-1)=2^9\cdot 13.$$
Следовательно, выражение делится на $$13.$$
в) $$27^4-9^5+3^9=(3^3)^4-(3^2)^5+3^9=3^{12}-3^{10}+3^9$$
$$=3^9(3^3-3+1)=3^9(27-3+1)=3^9\cdot 25.$$
Значит, выражение делится на $$25.$$
г) $$16^4-2^{13}-4^5=(2^4)^4-2^{13}-(2^2)^5=2^{16}-2^{13}-2^{10}$$
$$=2^{10}(2^6-2^3-1)=2^{10}(64-8-1)=2^{10}\cdot 55=2^9\cdot 110.$$
Следовательно, выражение делится на $$110.$$
Во всех пунктах использовано вынесение общего множителя и свойство: если один из множителей делится на данное число, то и произведение делится на это число.
Ответ
а) делится на $$43$$; б) делится на $$13$$; в) делится на $$25$$; г) делится на $$110$$.
