Упр.626 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
а) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.
Пусть первое число будет x, тогда второе будет x+1, а третье x+2.
x+x+1+x+2=3x+3=3(x+1).
Так как один из множителей число 3, то значит число кратно 3.
Что и требовалось доказать.
б) Докажем, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
Пусть первое натуральное число будет x, тогда второе будет
x+1, третье x+2, а четвёртое x+3.
x+x+1+x+2+x+3=4x+6.
Так как один из слагаемых делится на 4, а второй не делится, то значит число не кратно 4.
Что и требовалось доказать.
3) Сумма чётного количества последовательных натуральных чисел не делится на количество этих чисел, а сумма нечётного количества последовательных натуральных чисел делится на количество этих чисел.
Проверим предположение на сумме пяти последовательных натуральных чисел.
Пусть первое натуральное число будет x, тогда второе число будет x+1, третье — x+2, четвёртое — x+3, а пятое — x+4.
x+x+1+x+2+x+3+x+4=5x+10=5(x+2).
Так как один из множителей число 5, значит число кратно 5.
Что и требовалось доказать.

1. Пусть первое число равно $$x$$, тогда три последовательных натуральных числа: $$x,\ x+1,\ x+2$$.

   Их сумма равна:

   $$x+(x+1)+(x+2)=3x+3=3(x+1).$$

   Значит, сумма делится на $$3$$, то есть кратна $$3$$.

2. Пусть первое число равно $$x$$, тогда четыре последовательных натуральных числа: $$x,\ x+1,\ x+2,\ x+3$$.

   Их сумма равна:

   $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6=2(2x+3).$$

   Число $$4x+6$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, значит, оно не делится на $$4$$.

3. Сделаем предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на $$5$$.

   Пусть это числа $$x,\ x+1,\ x+2,\ x+3,\ x+4$$. Тогда

   $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=5(x+2).$$

   Следовательно, сумма кратна $$5$$.

Ответ

а) $$x+(x+1)+(x+2)=3(x+1)$$, значит сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна $$3$$.
б) $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6$$, значит сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна $$4$$.
3) Сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна $$5$$.