Упр.626 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Докажите, что сумма: а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3; б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
Приведите контрпример для утверждения: выражение $$x(2x-1)-x^2(x-2)+(x^3-x+3)+2(x-1{,}5)$$ при любом значении $$x$$ принимает положительное значение.
Докажите, что выражение $$x(2x+1)-x^2(x+2)+(x^3-x+3)$$ при любом значении $$x$$ принимает одно и то же значение.
а) Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$x+1$$, а третье — $$x+2$$. Тогда сумма этих чисел равна
$$x+(x+1)+(x+2)=3x+3=3(x+1).$$
Следовательно, сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна $$3$$.
б) Пусть первое число равно $$x$$, тогда следующие числа: $$x+1$$, $$x+2$$, $$x+3$$. Их сумма:
$$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6=2(2x+3).$$
Число $$2x+3$$ нечётное, значит сумма не делится на $$4$$. Следовательно, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна $$4$$.
3) Проверим предположение для пяти последовательных натуральных чисел. Пусть это числа $$x, x+1, x+2, x+3, x+4$$. Тогда
$$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=5(x+2).$$
Значит, сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна $$5$$.
Ответ
а) $$x+(x+1)+(x+2)=3(x+1)$$, сумма кратна $$3$$.
б) $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6$$, сумма не кратна $$4$$.
Для пяти последовательных натуральных чисел сумма кратна $$5$$.
