Упр.61 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
6=3•2 – для того, чтобы число делилось на 6 необходимо и достаточно того, чтобы число делилось на 2 и на 3.
2 – единственное простое четное число, а так как мы рассматриваем простые числа, начиная с 5, то все рассматриваемые простые числа являются нечетными.
Прибавление или вычитание единицы изменяет четность. Поэтому всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 2.
Так как исходное число простое, начиная с 5, значит, оно не делится на 3, обозначим его переменной x.
Очевидно, что x-1 либо x+1 делится на 3, так как точно одно из 3 последовательных чисел делится на 3.
Простое число из третьего десятка – 23, тогда
23+1=24 – делится на 6.
Простое число из седьмого десятка – 67, тогда
67-1=66 – делится на 6.
67+1=68 – не делится на 6.
Доказательство:
Пусть a — некоторое простое число, a?5.
Все простые числа, кроме числа 2, числа нечетные, тогда (a-1) и (a+1) числа четные и, значит, делятся на 2.
Из трех последовательных чисел (a-1),a,(a+1) одно обязательно делится на 3, так как a – простое число, то (a-1) или (a+1) делится на 3.
Тогда всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 2 и на 3. Значит, делится и на 6.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — простое число, причём $$a \ge 5$$.

Все простые числа, кроме $$2$$, нечётные. Значит, числа $$a-1$$ и $$a+1$$ — чётные, то есть делятся на $$2$$.

Рассмотрим три последовательных числа $$a-1,\ a,\ a+1$$. Одно из них обязательно делится на $$3$$. Но число $$a$$ — простое и больше $$3$$, значит, на $$3$$ не делится. Следовательно, на $$3$$ делится одно из чисел $$a-1$$ или $$a+1$$.

Итак, число $$a-1$$ или $$a+1$$ делится и на $$2$$, и на $$3$$. Тогда оно делится на $$6$$, так как $$6=2\cdot 3$$.

Проверим на примерах: $$23+1=24$$, $$24$$ делится на $$6$$; $$67-1=66$$, $$66$$ делится на $$6$$.