Упр.61 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Докажите, что всякое простое число, начиная с $$5$$, увеличенное или уменьшенное на $$1$$, делится на $$6$$.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
Верно ли неравенство:
а) $$x\le 5{,}3$$ при $$x=2{,}7; 5{,}3; 6$$;
б) $$y\ge 4{,}8$$ при $$y=3{,}5; 4{,}8; 7{,}1$$;
в) $$0{,}6
г) $$2{,}1\le y\le 2{,}4$$ при $$y=2{,}1; 2{,}2; 2{,}3; 2{,}4; 2{,}5$$?
Пусть $$a$$ — простое число, $$a \ge 5$$.
Все простые числа, кроме $$2$$, — нечётные. Значит, числа $$a-1$$ и $$a+1$$ чётные, а следовательно, делятся на $$2$$.
Рассмотрим три последовательных числа $$a-1$$, $$a$$, $$a+1$$. Одно из них обязательно делится на $$3$$. Но число $$a$$ — простое и больше $$3$$, значит, на $$3$$ оно не делится. Следовательно, на $$3$$ делится либо $$a-1$$, либо $$a+1$$.
Итак, число $$a-1$$ или $$a+1$$ делится и на $$2$$, и на $$3$$. Тогда оно делится на $$6$$, так как $$6=2\cdot 3$$.
Проверка на примерах: $$23+1=24$$, $$67-1=66$$ — оба числа делятся на $$6$$.
Ответ: всякое простое число, начиная с $$5$$, увеличенное или уменьшенное на $$1$$, делится на $$6$$.
