Упр.568 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

а) число 3^4k оканчивается единицей;
б) число 10k — 1 кратно 3.
а) 3^4k=(3^4 )^k=81^k
Так как число 81 оканчивается единицей, а единица в любой натуральной степени равна 1, значит число 3^4k при любом натуральном k оканчивается единицей.
б) Число 10^k всегда оканчивается нулём, значит число 10^k-1 всегда будет состоять из k девяток.
Так как 9 кратно 3, то и число 10^k-1 при любом натуральном k кратно 3.

а) $$3^{4k}=(3^4)^k=81^k.$$

Число $$81$$ оканчивается цифрой $$1$$. Тогда и любая его натуральная степень $$81^k$$ также оканчивается цифрой $$1$$. Значит, число $$3^{4k}$$ при любом натуральном $$k$$ оканчивается единицей.

б) Рассмотрим число $$10^k-1$$. Число $$10^k$$ при любом натуральном $$k$$ оканчивается нулём, поэтому после вычитания единицы получается число вида $$99\ldots 9$$, то есть число, состоящее только из девяток.

Так как $$9$$ делится на $$3$$, то и любое число, составленное только из девяток, делится на $$3$$. Следовательно, $$10^k-1$$ кратно $$3$$ при любом натуральном $$k$$.

Ответ

а) $$3^{4k}$$ оканчивается единицей; б) $$10^k-1$$ кратно $$3$$.