Упр.543 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$x^4+3x^3+2x^2+x+6=0$$ не имеет положительных корней.
2. Сравните значения выражений: а) $$10^7$$ и $$2^8\cdot5^7$$; б) $$6^{12}$$ и $$2^{13}\cdot3^{11}$$; в) $$25^{25}$$ и $$2^{50}\cdot3^{50}$$; г) $$63^{30}$$ и $$3^{60}\cdot5^{30}$$.

а) $$10^7=(2\cdot 5)^7=2^7\cdot 5^7<2^8\cdot 5^7,$$ значит, $$10^7<2^8\cdot 5^7.$$

б) $$6^{12}=(2\cdot 3)^{12}=2^{12}\cdot 3^{12}=2\cdot 3\cdot (2\cdot 3)^{11}>2^2\cdot (2\cdot 3)^{11},$$ поэтому $$6^{12}>2^{13}\cdot 3^{11}.$$

в) $$25^{25}=(5^2)^{25}=5^{50},$$ а $$2^{50}\cdot 3^{50}=(2\cdot 3)^{50}=6^{50}.$$ Так как $$5<6,$$ то $$5^{50}<6^{50},$$ следовательно, $$25^{25}<2^{50}\cdot 3^{50}.$$

г) $$63^{30}=(9\cdot 7)^{30}=(3^2\cdot 7)^{30}=3^{60}\cdot 7^{30}>3^{60}\cdot 5^{30},$$ значит, $$63^{30}>3^{60}\cdot 5^{30}.$$

Ответ: а) $$10^7<2^8\cdot 5^7$$; б) $$6^{12}>2^{13}\cdot 3^{11}$$; в) $$25^{25}<2^{50}\cdot 3^{50}$$; г) $$63^{30}>3^{60}\cdot 5^{30}$$.