Упр.541 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что не имеет корней уравнение:
   а) $$x^2+1=0$$;
   б) $$2x^6+3x^4+x^2+1=0$$.
2. Верно ли при любом значении $$x$$ равенство:
   а) $$|x|^2=x^2$$;
   б) $$|x|^3=x^3$$?

а) $$x^2+1=0$$

Перенесём 1 в правую часть:

$$x^2=-1$$

Но квадрат любого числа не может быть отрицательным, значит, уравнение не имеет корней.

б) $$2x^6+3x^4+x^2+1=0$$

Так как $$x^6\ge 0,$$ $$x^4\ge 0,$$ $$x^2\ge 0,$$ то

$$2x^6+3x^4+x^2\ge 0.$$

Тогда

$$2x^6+3x^4+x^2+1\ge 1>0.$$

Следовательно, левая часть не может быть равна нулю, значит, уравнение не имеет корней.

В задании 2019 года:

а) $$|x|^2=x^2$$ — верно при любом $$x,$$ так как $$|x|^2=(|x|)^2=x^2.$$

б) $$|x|^3=x^3$$ — неверно при отрицательных $$x,$$ потому что $$|x|^3\ge 0,$$ а $$x^3<0$$ при $$x<0.$$ Это равенство верно только при $$x\ge 0.$$

Ответ: а) корней нет; б) корней нет; в 2019 году: а) верно при любом $$x$$; б) верно только при $$x\ge 0$$.