Упр.539 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а) (10^n-1)/9
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n-1 будет делиться на 9 без остатка.
По признаку делимости, число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n-1 будет состоять из n девяток.
Число, состоящее из любого количества 9, делится на 9.
Значит, выражение 10^n-1 делится на 9 без остатка.
б) (10^n+8)/9
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n+8 будет делиться на 9 без остатка.
По признаку делимости, число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n+8 будет состоять из единицы, n-1 нулей и восьмёрки.
Сумма цифр равна: 1+8=9
Значит, выражение 10^n+8 делится на 9 без остатка.
в) (10^n-4)/3
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n-4 будет делиться на 3 без остатка.
По признаку делимости, число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n-4 будет состоять из n-1 девяток и шестёрки.
Так как сумма цифр кратна 3, значит, выражение 10^n-4 делится на 3 без остатка.

Подробный ответ

а) Рассмотрим число $$10^n-1.$$

Число $$10^n$$ записывается как единица и $$n$$ нулей, значит, число $$10^n-1$$ состоит из $$n$$ девяток. Такое число делится на $$9$$, следовательно, дробь

$$\frac{10^n-1}{9}$$

является натуральным числом.

б) Рассмотрим число $$10^n+8.$$

Число $$10^n$$ записывается как единица и $$n$$ нулей, поэтому число $$10^n+8$$ имеет вид $$1\underbrace{00\ldots0}_{n-1\ \text{нулей}}8.$$ Сумма его цифр равна $$1+8=9,$$ значит, число делится на $$9.$$ Следовательно, дробь

$$\frac{10^n+8}{9}$$

является натуральным числом.

в) Рассмотрим число $$10^n-4.$$

Число $$10^n$$ записывается как единица и $$n$$ нулей, значит, число $$10^n-4$$ имеет вид $$\underbrace{99\ldots9}_{n-1\ \text{девятка}}6.$$ Сумма его цифр равна

$$9(n-1)+6=9n-3,$$

а это число делится на $$3.$$ Следовательно, число $$10^n-4$$ делится на $$3,$$ и дробь

$$\frac{10^n-4}{3}$$

является натуральным числом.