Упр.539 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение дроби является натуральным числом:
   а) $$\frac{10^n-1}{9}$$;
   б) $$\frac{10^n+8}{9}$$;
   в) $$\frac{10^n-4}{3}$$.
2. Площадь круга вычисляется по формуле $$S=\pi r^2$$, где $$r$$ — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза? В 7 раз?

а) $$\frac{10^n-1}{9}$$

Число $$10^n$$ записывается как единица и $$n$$ нулей. Тогда число $$10^n-1$$ состоит из $$n$$ девяток, а значит, делится на $$9$$ без остатка. Следовательно, $$\frac{10^n-1}{9}$$ — натуральное число.

б) $$\frac{10^n+8}{9}$$

Число $$10^n+8$$ оканчивается на цифру $$8$$, а сумма его цифр равна $$1+8=9$$. Значит, оно делится на $$9$$ без остатка. Следовательно, $$\frac{10^n+8}{9}$$ — натуральное число.

в) $$\frac{10^n-4}{3}$$

Число $$10^n-4$$ оканчивается на цифру $$6$$ и имеет сумму цифр, кратную $$3$$. Поэтому оно делится на $$3$$ без остатка. Следовательно, $$\frac{10^n-4}{3}$$ — натуральное число.

Ответ

Во всех трёх случаях дробь является натуральным числом.