Упр.524 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

В последовательностях записаны в порядке возрастания все натуральные числа, которые не превосходят 200, причём в первой последовательности записаны числа, кратные 6, а во второй — кратные 8: 6, 12, 18, …; 8, 16, 24, … . Сколько в этих последовательностях одинаковых чисел?
Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение дроби является натуральным числом:
а) $$\frac{10^n-1}{9}$$
б) $$\frac{10^n+8}{9}$$
в) $$\frac{10^n-4}{3}$$

Подробный ответ

Общие числа в обеих последовательностях должны делиться и на $$6,$$ и на $$8.$$ Значит, они делятся на $$\operatorname{НОК}(6,8).$$

Найдём наименьшее общее кратное:

$$6=2\cdot 3,\qquad 8=2^3,$$

$$\operatorname{НОК}(6,8)=2^3\cdot 3=24.$$

Следовательно, общими будут все числа, кратные $$24,$$ не превосходящие $$200.$$ Это числа:

$$24,\ 48,\ 72,\ 96,\ 120,\ 144,\ 168,\ 192.$$

Их восемь.