Упр.467 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а) квадрат натурального числа;
б) четвёртая степень натурального числа?
а) Квадрат натурального числа оканчивается цифрой, зависящей от последней цифры данного числа.
Значит, возведя в квадрат цифры первого десятка, получим окончания всех возможных квадратов натуральных чисел:
0^2=0, 1^2=1, 2^2=4,
3^2=9, 4^2=16, 5^2=25,
6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81.
Таким образом, квадрат натурального числа может оканчиваться цифрами: 0, 1, 4, 5, 6 и 9.
б) x^4=(x^2 )^2.
Четвёртая степень натурального числа оканчивается цифрой, зависящей от последней цифры квадрата данного числа.
Квадрат натурального числа оканчивается цифрами: 0, 1, 4, 5, 6 и 9.
Значит, возведя в квадрат эти цифры, получим окончания всех возможных последних цифр:
0^2=0,
1^2=1,
4^2=16,
5^2=25,
6^2=36,
9^2=81.
Таким образом, четвёртая степень натурального числа может оканчиваться цифрами: 0, 1, 5 и 6.

Подробный ответ

а) Квадрат натурального числа зависит от последней цифры этого числа. Рассмотрим квадраты цифр от 0 до 9:

$$0^2=0,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 3^2=9,\quad 4^2=16,$$
$$5^2=25,\quad 6^2=36,\quad 7^2=49,\quad 8^2=64,\quad 9^2=81.$$

Значит, квадрат натурального числа может оканчиваться цифрами: $$0, 1, 4, 5, 6, 9.$$

б) Четвёртая степень натурального числа можно записать так: $$x^4=(x^2)^2.$$

Последняя цифра четвёртой степени зависит от последней цифры квадрата. У квадрата возможны окончания $$0, 1, 4, 5, 6, 9.$$ Возведём эти цифры в квадрат:

$$0^2=0,\quad 1^2=1,\quad 4^2=16,\quad 5^2=25,\quad 6^2=36,\quad 9^2=81.$$

Следовательно, четвёртая степень натурального числа может оканчиваться цифрами: $$0, 1, 5, 6.$$