Упр.412 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

а2 + 1, -а4, 3 + (5 — а)2, -о — а3, -а2 + 8, За + 4, а4 + а2 + 8, -а6 — 4а8 — 1, -7а — 4, -а8 — 9.
Какие из этих выражений принимают:
а) только положительные значения;
б) только отрицательные значения?
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое выражение и определим его знак.

1) $$a^2+1$$ — так как $$a^2 \ge 0$$, то $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$.

2) $$-a^4$$ — так как $$a^4 \ge 0$$, то $$-a^4 \le 0$$, а при $$a \ne 0$$ выражение отрицательно. Значит, оно не принимает только положительные значения.

3) $$3+(5-a)^2$$ — так как $$ (5-a)^2 \ge 0$$, то $$3+(5-a)^2>0$$ при любом $$a$$.

4) $$-a-a^3=-a(1+a^2)$$. Поскольку $$1+a^2>0$$, знак выражения зависит от $$-a$$, поэтому оно может быть и положительным, и отрицательным.

5) $$-a^2+8$$ — может быть как положительным, так и отрицательным.

6) $$3a+4$$ — может быть как положительным, так и отрицательным.

7) $$a^4+a^2+8$$ — так как $$a^4 \ge 0$$ и $$a^2 \ge 0$$, то $$a^4+a^2+8>0$$ при любом $$a$$.

8) $$-a^6-4a^8-1$$ — так как $$a^6 \ge 0$$, $$a^8 \ge 0$$, то $$-a^6 \le 0$$, $$-4a^8 \le 0$$, значит
$$-a^6-4a^8-1<0$$ при любом $$a$$.

9) $$-7a-4$$ — может быть как положительным, так и отрицательным.

10) $$-a^8-9$$ — так как $$a^8 \ge 0$$, то $$-a^8-9<0$$ при любом $$a$$.

Следовательно:

только положительные значения принимают $$a^2+1$$, $$3+(5-a)^2$$, $$a^4+a^2+8$$;
только отрицательные значения принимают $$-a^4$$, $$-a^6-4a^8-1$$, $$-a^8-9$$.