Упр.347 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

{-х + 1, если х ? 1, 2x — 3, если x > 1.
Определите, при каких значениях m прямая у = m и график данной функции:
а) не имеют общих точек;
б) имеют одну общую точку;
в) имеют две общие точки.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -x+1, & x\le 1,\\ 2x-3, & x>1. \end{cases} $$

Построим её график.

1) При $$x\le 1$$ это прямая $$y=-x+1$$. В точке $$x=1$$ получаем $$y=0$$, значит точка $$\left(1;0\right)$$ принадлежит графику и отмечается закрашенной.

2) При $$x>1$$ это прямая $$y=2x-3$$. В точке $$x=1$$ было бы $$y=-1$$, но эта точка не входит в график, поэтому отмечается пустой.

Теперь рассмотрим пересечения с прямой $$y=m$$.

Для левой части:

$$ -x+1=m \quad \Rightarrow \quad x=1-m. $$

Это решение подходит, если $$x\le 1$$, то есть

$$ 1-m\le 1 \Rightarrow m\ge 0. $$

Значит, при $$m\ge 0$$ есть одна общая точка с левой частью графика.

Для правой части:

$$ 2x-3=m \quad \Rightarrow \quad x=\frac{m+3}{2}. $$

Это решение подходит, если $$x>1$$, то есть

$$ \frac{m+3}{2}>1 \Rightarrow m>-1. $$

Значит, при $$m>-1$$ есть одна общая точка с правой частью графика.

Теперь учитываем возможные случаи:

если $$m\le -1$$, то ни одна из частей графика не пересекается с прямой $$y=m$$;
если $$-1<m<0$$, то пересечение есть только с правой частью графика, значит общая точка одна;
если $$m\ge 0$$, то прямая пересекает обе части графика, значит общих точек две.