Упр.347 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Постройте график функции
$$f(x)=\begin{cases}-x+1, & \text{если } x\,?\,1,\\ 2x-3, & \text{если } x>1.\end{cases}$$
Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ и график данной функции:
а) не имеют общих точек;
б) имеют одну общую точку;
в) имеют две общие точки.
На рисунке 52 изображён график движения автомобиля из пункта А в пункт В. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки? С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?
Функция задана по частям:
$$y= \begin{cases} -x+1, & x\le 1,\\ 2x-3, & x>1. \end{cases}$$
Построим её график.
1) При $$x\le 1$$ это прямая $$y=-x+1$$. В точке $$x=1$$ получаем $$y=0$$, значит точка $$\left(1;0\right)$$ принадлежит графику и отмечается закрашенной.
2) При $$x>1$$ это прямая $$y=2x-3$$. В точке $$x=1$$ было бы $$y=-1$$, но эта точка не входит в график, поэтому отмечается пустой.
Теперь рассмотрим пересечения с прямой $$y=m$$.
Для левой части:
$$-x+1=m \quad \Rightarrow \quad x=1-m.$$
Это решение подходит, если $$x\le 1$$, то есть
$$1-m\le 1 \Rightarrow m\ge 0.$$
Значит, при $$m\ge 0$$ есть одна общая точка с левой частью графика.
Для правой части:
$$2x-3=m \quad \Rightarrow \quad x=\frac{m+3}{2}.$$
Это решение подходит, если $$x>1$$, то есть
$$\frac{m+3}{2}>1 \Rightarrow m>-1.$$
Значит, при $$m>-1$$ есть одна общая точка с правой частью графика.
Теперь учитываем возможные случаи:
- если $$m\le -1$$, то ни одна из частей графика не пересекается с прямой $$y=m$$;
- если $$-1<m<0$$, то пересечение есть только с правой частью графика, значит общая точка одна;
- если $$m\ge 0$$, то прямая пересекает обе части графика, значит общих точек две.
Ответ
а) $$m\le -1$$;
б) $$-1<m<0$$;
в) $$m\ge 0$$.
