Упр.1241 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Путь от A до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Ровное место мотоциклист проехал за $$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$$ ч, то есть за $$40$$ мин.

Тогда на подъём и спуск в первом пути ушло $$67-40=27$$ мин, а во втором — $$76-40=36$$ мин.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а $$y$$ км/ч — скорость под гору. Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=27,\\ \frac{6}{x}+\frac{3}{y}=36. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$xy$$, второе — на $$xy$$:

$$\begin{cases} 3y+6x=27xy,\\ 6y+3x=36xy. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 6y+12x=54xy,\\ 6y+3x=36xy. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$9x=18xy.$$

Так как $$x\neq 0$$, делим на $$9x$$:

$$1=2y,\qquad y=\frac12 \text{ км/мин}=30 \text{ км/ч}.$$

Подставим $$y=\frac12$$ в первое уравнение:

$$\frac{3}{x}+\frac{6}{30}=27 \text{ мин}$$

Удобнее сразу подставить в алгебраическую форму:

$$3\cdot \frac12+6x=27x\cdot \frac12$$

$$\frac32+6x=\frac{27}{2}x$$

$$\frac32=\frac{15}{2}x$$

$$x=\frac{1}{5}\text{ км/мин}=12\text{ км/ч}.$$

Ответ: $$12$$ км/ч — в гору, $$30$$ км/ч — под гору.