Упр.1239 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

Пусть искомые натуральные числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$a+b=168.$$

Так как $$\gcd(a,b)=24$$, то числа $$a$$ и $$b$$ кратны $$24$$:

$$a=24n,\quad b=24m,$$

где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа, причём $$\gcd(n,m)=1$$.

Подставим в сумму:

$$24n+24m=168$$

$$24(n+m)=168$$

$$n+m=7.$$

Натуральные пары чисел с суммой $$7$$ и взаимной простотой:

$$1 \text{ и } 6,\quad 2 \text{ и } 5,\quad 3 \text{ и } 4.$$

Тогда получаем:

$$a=24\cdot 1=24,\quad b=24\cdot 6=144,$$

$$a=24\cdot 2=48,\quad b=24\cdot 5=120,$$

$$a=24\cdot 3=72,\quad b=24\cdot 4=96.$$

Во всех случаях сумма равна $$168$$, а наибольший общий делитель — $$24$$.

Ответ

$$24 \text{ и } 144;\ 48 \text{ и } 120;\ 72 \text{ и } 96.$$