Упр.1237 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases}x-y=-1,\\y-z=-1,\\z+x=8;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x+y=-3,\\y+z=6,\\z+x=1;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}x-y+2z=1,\\x-y-z=-2,\\2x-y+z=-1.\end{cases}$$

а) Сложим первое и второе уравнения:

$$(x-y)+(y-z)=-1+(-1)$$

$$x-z=-2$$

Теперь сложим это уравнение с третьим:

$$(x-z)+(x+z)=-2+8$$

$$2x=6,\quad x=3$$

Из $$x-y=-1$$ получаем:

$$3-y=-1,\quad y=4$$

Из $$y-z=-1$$:

$$4-z=-1,\quad z=5$$

Ответ: $$x=3,\ y=4,\ z=5$$.

б) Сложим первое и второе уравнения:

$$(x+y)+(y+z)=-3+6$$

$$x+2y+z=3$$

Но удобнее выразить переменные из первых двух уравнений:

$$y=-3-x,\qquad z=6-y$$

Подставим в третье уравнение:

$$z+x=1$$

Из $$y=-3-x$$ имеем:

$$z=6-(-3-x)=9+x$$

Тогда

$$(9+x)+x=1$$

$$2x=-8,\quad x=-4$$

Тогда

$$y=-3-(-4)=1,\qquad z=9+(-4)=5$$

Ответ: $$x=-4,\ y=1,\ z=5$$.

в) Из первого и второго уравнений вычтем второе из первого:

$$(x-y+2z)-(x-y-z)=1-(-2)$$

$$3z=3,\quad z=1$$

Подставим $$z=1$$ во второе уравнение:

$$x-y-1=-2$$

$$x-y=-1$$

Теперь используем первое уравнение:

$$x-y+2\cdot 1=1$$

$$x-y=-1$$

Из третьего уравнения:

$$2x-y+1=-1$$

$$2x-y=-2$$

Вычтем из этого уравнения $$x-y=-1$$:

$$(2x-y)-(x-y)=-2-(-1)$$

$$x=-1$$

Тогда

$$-1-y=-1,\quad y=0$$

Ответ: $$x=-1,\ y=0,\ z=1$$.