Упр.1234 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ является тождеством равенство $$5x^3-32x^2+75x-71=a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d$$?

Разложим правую часть на множители:

$$a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d$$

$$=a(x^3-6x^2+12x-8)+b(x^2-4x+4)+cx-2c+d$$

$$=ax^3+x^2(b-6a)+x(12a-4b+c)+(4b-8a-2c+d).$$

Сравним коэффициенты с левой частью:

$$5x^3-32x^2+75x-71=ax^3+x^2(b-6a)+x(12a-4b+c)+(4b-8a-2c+d).$$

Тогда

$$a=5,$$

$$b-6a=-32,$$

$$12a-4b+c=75,$$

$$4b-8a-2c+d=-71.$$

Подставим найденное значение $$a=5$$:

$$b-30=-32,$$

откуда

$$b=-2.$$

Далее:

$$12\cdot 5-4\cdot(-2)+c=75,$$

$$60+8+c=75,$$

$$c=7.$$

И наконец:

$$4\cdot(-2)-8\cdot 5-2\cdot 7+d=-71,$$

$$-8-40-14+d=-71,$$

$$d=-9.$$

Ответ

$$a=5,\ b=-2,\ c=7,\ d=-9.$$