Упр.1233 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Найдите все простые числа $$p$$ и $$q$$, для которых $$p^2 — 2q^2 = 1$$.

Рассмотрим уравнение

$$p^2-2q^2=1.$$

Перенесём единицу вправо:

$$2q^2=p^2-1=(p-1)(p+1).$$

Если $$p$$ — чётное простое число, то $$p=2$$, но тогда

$$2^2-2q^2=1 \;\Rightarrow\; 4-2q^2=1,$$

что невозможно, так как левая часть нечётная только при нечётном $$q$$, а правая часть равна $$1$$. Значит, $$p$$ — нечётное простое число.

Тогда числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — чётные, а их произведение равно $$2q^2$$. Поскольку $$q$$ — простое число, то $$q^2$$ — квадрат простого числа, и из равенства

$$2q^2=(p-1)(p+1)$$

следует, что единственно возможное простое значение $$q$$ — это $$2$$. Подставим:

$$p^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$p^2-8=1,$$

$$p^2=9,$$

$$p=3.$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Ответ: $$p=3,\ q=2.$$