Упр.1233 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Найдите все простые числа р и q, для которых р2 — 2q2 = 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 makar7 new/1233 715

Преобразуем уравнение:

$$p^2-2q^2=1$$

$$2q^2=p^2-1=(p-1)(p+1)$$

Рассмотрим чётность числа $$p$$.

Если $$p$$ — чётное простое число, то $$p=2$$. Тогда

$$2\cdot q^2=2^2-1=3,$$

что невозможно.

Значит, $$p$$ — нечётное простое число. Тогда числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — чётные, а их произведение кратно $$4$$. Следовательно, $$2q^2$$ кратно $$4$$, значит, $$q^2$$ чётно. Тогда простое число $$q$$ может быть только равным $$2$$.

Подставим $$q=2$$ в исходное уравнение:

$$p^2-2\cdot 2^2=1$$

$$p^2-8=1$$

$$p^2=9$$

$$p=3$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Ответ

$$p=3,\ q=2$$