Упр.1232 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$y$$ есть среднее арифметическое $$x$$ и $$z$$, то $$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-4x^2y^2+4y^2z^2=0$$.

Если $$y$$ — среднее арифметическое чисел $$x$$ и $$z$$, то

$$y=\frac{x+z}{2},$$

значит,

$$2y=x+z,\qquad 4y^2=(x+z)^2=x^2+2xz+z^2.$$

Рассмотрим левую часть данного выражения:

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-4x^2y^2+4y^2z^2.$$

Подставим $$4y^2=(x+z)^2$$:

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^2(x+z)^2+z^2(x+z)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^2(x^2+2xz+z^2)+z^2(x^2+2xz+z^2).$$

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^4-2x^3z-x^2z^2+x^2z^2+2xz^3+z^4=0.$$

Следовательно,

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-4x^2y^2+4y^2z^2=0,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$0$$