Упр.1232 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то х4 + 2х3z — 2хz3 — z4 — 4х2у2 + 4y2z2 = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 makar7 new/1232 715

Подробный ответ

Так как y — среднее арифметическое чисел x и z, то

$$y=\frac{x+z}{2}.$$

Тогда

$$2y=x+z,$$

$$4y^2=(x+z)^2.$$

Подставим это в левую часть выражения:

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-4x^2y^2+4y^2z^2$$

$$=x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^2(x+z)^2+z^2(x+z)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^2(x^2+2xz+z^2)+z^2(x^2+2xz+z^2)$$

$$=x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-x^4-2x^3z-x^2z^2+x^2z^2+2xz^3+z^4$$