Упр.1231 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Докажите, что не существует целых коэффициентов а, b, с и d, таких, что значение многочлена ах3 + bх2 + сх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 makar7 new/1231 715

Пусть

$$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$

где $$a,b,c,d$$ — целые числа. По условию

$$ \begin{cases} 19^3a+19^2b+19c+d=1,\\ 62^3a+62^2b+62c+d=2. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ a(62^3-19^3)+b(62^2-19^2)+43c=1. $$

Разложим разности на множители:

$$ 62^3-19^3=(62-19)(62^2+62\cdot 19+19^2), $$
$$ 62^2-19^2=(62-19)(62+19). $$

Тогда

$$ 43a(62^2+62\cdot 19+19^2)+43\cdot 81\,b+43c=1. $$

Делим обе части на $$43$$:

$$ a(62^2+62\cdot 19+19^2)+81b+c=\frac{1}{43}. $$

Левая часть — целое число, так как $$a,b,c$$ целые. Но правая часть равна $$\frac{1}{43}$$, то есть не является целым числом. Противоречие.

Следовательно, целых коэффициентов $$a,b,c,d$$ с указанным свойством не существует.

Ответ

Таких целых коэффициентов $$a,b,c,d$$ не существует.