Упр.1230 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$x^2-y^2=30$$ не имеет целых решений.
2. Только что добытый каменный уголь содержит $$2\%$$ воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит $$12\%$$ воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?

Пусть $$x+y=a$$ и $$x-y=b$$, тогда

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=ab=30.$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$a$$ и $$b$$ — чётные числа, то их произведение делится на $$4$$. Но число $$30$$ на $$4$$ не делится, значит, этот случай невозможен.
2. Если $$a$$ и $$b$$ — нечётные числа, то их произведение нечётно. Но $$30$$ — чётное число, значит, этот случай тоже невозможен.
3. Если одно из чисел $$a$$ и $$b$$ чётное, а другое нечётное, то их сумма и разность были бы нечётными, что невозможно для чисел $$x+y$$ и $$x-y$$ одновременно.

Следовательно, целых значений $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющих уравнению $$x^2-y^2=30$$, не существует.

Ответ

Уравнение не имеет целых решений.