Упр.1230 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Преобразуем исходное выражение.
x^2-y^2=(x-y)(x+y)=30.
Пусть x+y=a и x-y=b.
Тогда, a•b=30.
1) Если a и b – чётные числа, значит их произведение должно быть кратно 4.
Так как 30 не делится нацело на 4, значит целых решений у уравнения нет.
2) Если a и b – нечётные числа, значит их произведение нечётное, что не соответствует условию, так как 30 – чётное число, значит целых решений у уравнения нет.
3) При вычитании или сложении чётного и нечётного чисел всегда получается нечётное число.
Значит, случая при котором одно из чисел a и b будет чётным, а другое нечётным, быть не может.
Значит, уравнение x^2-y^2=30 не имеет целых решений.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=30.$$

Обозначим $$x+y=a$$ и $$x-y=b$$, тогда

$$ab=30.$$

Рассмотрим возможные случаи.

Если $$a$$ и $$b$$ — чётные числа, то их произведение делится на $$4$$. Но $$30$$ на $$4$$ не делится, значит, такой случай невозможен.
Если $$a$$ и $$b$$ — нечётные числа, то их произведение нечётно. Но $$30$$ — число чётное, значит, и этот случай невозможен.
Если одно из чисел $$a$$ и $$b$$ чётное, а другое нечётное, то их сумма и разность будут нечётными. Тогда числа $$x$$ и $$y$$ не могут быть целыми одновременно, что противоречит условию.

Следовательно, уравнение $$x^2-y^2=30$$ не имеет целых решений.