Упр.1228 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Пусть натуральное число, не кратное 3, будет n.
Тогда, при делении на 3 получаем остаток 1 или 2.
Если остаток равен 1, то
(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3•(3n^2+2n).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Если остаток равен 2, то
(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=
=3•(3n^2+4n+1).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Таким образом, разность между квадратом натурального числа, не кратного трём, и числом 1 кратна 3.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть натуральное число, не кратное $$3$$, равно $$n$$. Тогда при делении на $$3$$ оно даёт остаток $$1$$ или $$2$$.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1$$, то

$$ (3k+1)^2-1=9k^2+6k+1-1=9k^2+6k=3(3k^2+2k). $$

Значит, выражение кратно $$3$$.

2) Если $$n=3k+2$$, то

$$ (3k+2)^2-1=9k^2+12k+4-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1). $$

Значит, и в этом случае выражение кратно $$3$$.

Следовательно, разность между квадратом натурального числа, не кратного $$3$$, и числом $$1$$ кратна $$3$$.