Упр.1227 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Подробный ответ

Пусть скорость автобуса $$x$$ км/ч, а скорость автомобиля $$y$$ км/ч.

За время до встречи они были в пути:

$$7\text{ ч }50\text{ мин}-6\text{ ч }20\text{ мин}=1\text{ ч }30\text{ мин}=1{,}5\text{ ч}.$$

Тогда

$$1{,}5(x+y)=180,$$

откуда

$$x+y=120.$$

Если бы автобус вышел на $$1\text{ ч }15\text{ мин}$$ раньше, то он выехал бы в $$5\text{ ч }05\text{ мин}$$. Если бы автомобиль вышел на $$15\text{ мин}$$ позже, то он выехал бы в $$6\text{ ч }35\text{ мин}$$.

До встречи автобус был бы в пути:

$$7\text{ ч }35\text{ мин}-5\text{ ч }05\text{ мин}=2\text{ ч }30\text{ мин}=2{,}5\text{ ч},$$

а автомобиль:

$$7\text{ ч }35\text{ мин}-6\text{ ч }35\text{ мин}=1\text{ ч}.$$

Значит,

$$2{,}5x+y=180.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=120,\\ 2{,}5x+y=180. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$1{,}5x=60,$$

$$x=40.$$

Тогда