Упр.1227 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Подробный ответ

Пусть пять последовательных натуральных чисел — это $$n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2,$$ где $$n \ge 3.$$ Тогда их сумма квадратов равна

$$ (n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 $$

$$ = \left(n^2-4n+4\right)+\left(n^2-2n+1\right)+n^2+\left(n^2+2n+1\right)+\left(n^2+4n+4\right) $$

$$ = 5n^2+10=5(n^2+2). $$

Предположим, что это число является квадратом натурального числа. Тогда $$5(n^2+2)$$ — квадрат натурального числа.

Но квадрат натурального числа при делении на 5 может давать только остатки $$0,1,4$$, а число $$n^2+2$$ не может быть кратно 5 так, чтобы произведение $$5(n^2+2)$$ стало квадратом: если $$n^2+2$$ кратно 5, то

$$n^2+2=5k.$$

Тогда $$n^2=5k-2,$$ что невозможно, так как квадрат натурального числа не может иметь остаток $$3$$ или $$8$$ при рассмотрении возможных значений $$n^2+2$$ по модулю 5. Следовательно, число $$5(n^2+2)$$ не может быть квадратом натурального числа.

Значит, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.